Integral de \( \sec^3 x \) paso a paso
Problema:
\[ \int \sec^3 x \, dx \]
Paso 1: Configurar integración por partes
Sea:
\[ u = \sec x \quad \Rightarrow \quad du = \sec x \tan x \, dx \] \[ dv = \sec^2 x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \tan x \]Aplicando \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \):
\[ \int \sec^3 x \, dx = \sec x \tan x - \int \tan x \cdot \sec x \tan x \, dx \]Paso 2: Simplificar la integral resultante
Desarrollamos la integral del segundo término:
\[ = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x \, dx \]Usamos la identidad trigonométrica:
\[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \] \[ = \sec x \tan x - \int \sec x (\sec^2 x - 1) \, dx \] \[ = \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]Paso 3: Resolver para la integral original
Llamemos \( I = \int \sec^3 x \, dx \):
\[ I = \sec x \tan x - I + \int \sec x \, dx \]Resolviendo para \( I \):
\[ 2I = \sec x \tan x + \int \sec x \, dx \]Sabemos que:
\[ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \] \[ 2I = \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C \] \[ I = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \]Verificación por derivación
Derivemos el resultado:
\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x|\right] \]Primer término:
\[ \frac{1}{2}(\sec x \tan^2 x + \sec^3 x) \]Segundo término:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec x \tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{1}{2}\sec x \]Combinando:
\[ \frac{1}{2}\sec x (\tan^2 x + \sec^2 x) + \frac{1}{2}\sec x = \sec^3 x \quad \class{verification}{✅} \]Conclusión final
\[
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
\]
Donde \( C \) es la constante de integración.
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